La optimización dinámica es un conjunto de enunciados y procedimientos que buscan solucionar un tipo de sistemas dinámicos. Se distinguen dos escenarios básicos: continuo y discreto. En el presente documento se presentan dos problemas del estadio continuo: cálculo de variaciones y control óptimo. Estos temas hacen parte del curso de Economía Matemática 2, del programa de Economía. Este material pretende contribuir didácticamente al encuentro de los estudiantes y las representaciones económicas a través de matemáticas. Los temas de optimización dinámica aparecen en modelos de crecimiento económico, teoría monetaria, macroeconomía, economía de los recursos naturales, entre otros.

El contenido está orientado hacia algunas matemáticas usadas en los diferentes espacios académicos de los programas de Economía, ya que aporta aplicaciones que contribuyen al estudio de elementos básicos de teoría de matrices, funciones multivariadas y métodos de optimización con y sin restricción. Los elementos de economía matemática que se presentan en este texto son el resultado de los apuntes de clase desarrollados para los estudiantes de los cursos de Economía Matemática en la Escuela Colombiana de Ingeniería y la Universidad de La Salle.

Estos apuntes de clase son parte de la investigación formativa, para contribuir con el fortalecimiento de la formalización en teorías económicas, expresadas a través de matemáticas. Hace más de setenta años que se representan modelos económicos con ecuaciones diferenciales; los cambios de una variable con respecto a otra variable o con respecto al tiempo están relacionados con otras variables o con la misma variable; por ejemplo, la cantidad de demanda que depende del precio, también está afectada por los cambios del precio en el tiempo, o la inversión está relacionada con los cambios del ingreso respecto al tiempo.

Se inicia este texto con los espacios topológicos, para dejar una huella clara y sencilla de la topología, lo cual se espera motive a los lectores para continuar el estudio de una de las hermosas líneas en las que se han desarrollado las matemáticas; estas nociones se han presentado para conjuntos finitos y se completan en el siguiente capítulo con la topología usual para lRn, y en particular para lR2. En esta primera parte se desea dejar en claro la importancia de cómo la topología caracteriza al conjunto sobre el cual está definida, ya que de acuerdo con ella se determinan el interior, el exterior o la frontera de cualquier subconjunto, además de nociones como continuidad, convergencia, etc.

Los siguientes apuntes de clase tienen como objetivo, ampliar o fortalecer las nociones que sobre conjuntos ha desarrollado el lector en procesos anteriores; los conjuntos están presentes en casi todos los ambientes de la vida, por ejemplo, invito al lector a que piense sobre los conjuntos que lo están rodeando en este momento; sin embargo, no son solo los conjuntos tangibles, o perceptibles con los sentidos los que hacen parte de la teoría de conjuntos, también podemos pensar en conjuntos abstractos como los consumidores de taxi ayer en la ciudad de Bogotá o los almuerzos vendidos el domingo pasado, o las personas movilizadas ayer entre Bogotá y Medellín. Se presentarán las nociones básicas e intuitivas para empezar una teoría elemental de conjuntos que, entre otras cosas son fundamentales para el desarrollo de la teoría de espacios topológicos, espacios de probabilidad, teoría del consumidor, del productor, por ejemplo. La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos, así como las relaciones entre éstos; los conjuntos son objetos determinados por sus componentes, es decir, un objeto no es un conjunto, si no se conocen sus componentes.